Há quase 200 anos, as "equações polinomiais de grau superior" resistiam a qualquer solução geral. Um matemático australiano propõe um método inédito, eliminando os números irracionais em favor de séries numéricas inovadoras.
Este avanço, publicado na
The American Mathematical Monthly, questiona princípios algébricos estabelecidos desde o século XIX. Baseando-se em sequências combinatórias, abre perspectivas inesperadas para a matemática pura e aplicada.
O impasse histórico dos polinômios de alto grau
Equações polinomiais como
x² + 5x + 6 = 0 são resolvidas desde a Antiguidade. E estão por toda parte, desde cálculos orbitais até previsões meteorológicas ou criptografia computacional! Porém, a partir do quinto grau (acima de x⁴), tornavam-se insolúveis, exigindo números como √2 ou π, cujos decimais nunca terminam. Évariste Galois demonstrou em 1832 a impossibilidade de uma solução geral por radicais, forçando matemáticos a usar aproximações numéricas.
Norman Wildberger, da Universidade de Nova Gales do Sul, rejeita essa limitação. Para ele, o uso de números irracionais como √2 ou π introduz complexidades artificiais. Esses números, que exigem infinitos decimais, são segundo ele "incalculáveis na prática". Sua solução? Ignorá-los.
Sua metodologia evita esses obstáculos usando séries de potências, extensões polinomiais com termos potencialmente infinitos. Testada numa equação cúbica histórica, forneceu resultados precisos sem recorrer a radicais.
A chave: números geodésicos
A inovação baseia-se numa generalização dos números de Catalan, sequência combinatória que indica como dividir um polígono em triângulos. Wildberger e seu colega Dean Rubine estenderam essa lógica a dimensões superiores, criando uma estrutura chamada Geode.
Esses novos números resolvem equações complexas explorando padrões geométricos multidimensionais. Sua abordagem, puramente algébrica, contorna as aproximações tradicionais. Pode otimizar algoritmos em computação ou modelagem biológica.
Resultado? Até x⁵ torna-se solúvel! Testada numa equação do século XVII, a técnica forneceu resultados precisos... sem usar números infinitos. Geode também oferece um campo de pesquisa inexplorado. Aplicações práticas são possíveis, como melhorias em cálculos orbitais ou compressão de dados.
Autor do artigo: Cédric DEPOND
Fonte: The American Mathematical Monthly