Die Mathematik bietet eine erstaunliche Brücke zwischen der unendlich kleinen Welt der Teilchen und der kosmischen Weite. Forscher untersuchen, wie abstrakte geometrische Formen sowohl Kollisionen in Teilchenbeschleunigern als auch die Entwicklung des Universums seit dem Urknall beschreiben können. Dieser innovative Ansatz könnte zuvor getrennte physikalische Bereiche vereinen.
Die von Claudia Fevola und Anna-Laura Sattelberger durchgeführte Studie, veröffentlicht in den
Notices of the American Mathematical Society, konzentriert sich auf positive Geometrie. Inspiriert von Arbeiten in der theoretischen Physik repräsentiert dieser Zweig der Mathematik Wechselwirkungen zwischen Teilchen als Volumina in Räumen mit vielen Dimensionen.
Darstellung eines Amplitueders.
Bild Wikimedia.
Zum Beispiel ermöglicht das Amplitueder, ein 2013 eingeführtes geometrisches Objekt, die Berechnung von Streuamplituden – die die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen wie Protonenkollisionen bestimmen – auf einfachere Weise.
Diese mathematischen Werkzeuge finden direkte Anwendungen in der Kosmologie, beispielsweise bei der Modellierung von Korrelationen in der kosmischen Hintergrundstrahlung, dem ersten Licht des Universums. Wissenschaftler können zu den physikalischen Gesetzen zurückverfolgen, die die ersten Augenblicke nach dem Urknall regierten, und bieten so ein Fenster zum Ursprung alles dessen, was uns umgibt.
Die Methodik kombiniert Algebra, Geometrie und Kombinatorik. Feynman-Integrale, die zur Beschreibung quantenmechanischer Prozesse dienen, werden mit verallgemeinerten Euler-Integralen in Beziehung gesetzt. Diese Objekte werden durch topologische Eigenschaften untersucht, die physikalische Konzepte widerspiegeln.
Diese Arbeit ist Teil einer wachsenden internationalen Anstrengung, Mathematik und Grundlagenphysik einander näherzubringen. Die Autoren betonen, dass die positive Geometrie, obwohl noch jung, unser Verständnis der Natur auf allen Skalen revolutionieren könnte.
Um mehr zu erfahren: Positive Geometrie und Grundlagenphysik
Die positive Geometrie ist eine aufstrebende mathematische Disziplin, die Räume definiert, in denen alle Koordinaten positiv oder null sind. Sie verallgemeinert Konzepte wie Simplexe und konvexe Polytope, um physikalische Phänomene zu modellieren.
In der Teilchenphysik ermöglicht sie die Darstellung von Streuamplituden – Schlüsselgrößen zur Vorhersage von Experimentergebnissen – als Volumina in hochdimensionalen Räumen. Dieser Ansatz umgeht einige traditionelle Berechnungen und bietet eine intuitive geometrische Interpretation.
In der Kosmologie kodieren ähnliche Objekte, sogenannte kosmische Polytope, die statistischen Korrelationen in der kosmischen Hintergrundstrahlung. Diese Strukturen helfen zu verstehen, wie sich primordiale Inhomogenitäten entwickelten, um die heute beobachteten Galaxien und Galaxienhaufen zu bilden.
Das vereinheitlichende Potenzial der positiven Geometrie liegt in ihrer Fähigkeit, sehr unterschiedliche physikalische Systeme mit demselben mathematischen Formalismus zu beschreiben und so Quantenphysik und allgemeine Relativitätstheorie zu verbinden.
Quelle: Notices of the American Mathematical Society