Seit der Antike fasziniert das Problem der "Verdoppelung des Quadrats" neugierige Geister. Plato erzählte bereits, wie Sokrates seine Schüler herausforderte, die Fläche eines Quadrats zu verdoppeln - ein Rätsel, das die Grenzen unserer geometrischen Intuition offenbart.
Forscher der Universität Cambridge und der Hebräischen Universität Jerusalem wählten dieses jahrtausendealte Problem, um die geometrischen Fähigkeiten von ChatGPT zu testen. Sie schätzten, dass seine nicht offensichtliche Lösung - die Verwendung der Diagonale des ursprünglichen Quadrats anstatt einfach seine Seiten zu verlängern - kaum in den Trainingsdaten des Modells vorhanden sein würde, die überwiegend aus Texten bestehen.
Dieser Ansatz zielte darauf ab, zu bestimmen, ob die künstliche Intelligenz eine Lösung selbst ableiten könnte, ohne explizit dafür programmiert worden zu sein.
Die Forscher unterbreiteten dieses Problem ChatGPT-4, indem sie zunächst die Fragen des Sokrates nachahmten und dann absichtlich Fehler, Anfragen und neue Varianten des Problems einführten. Die Forscher erwarteten, dass es ihre mathematische Herausforderung bewältigen würde, indem es sein bereits vorhandenes "Wissen" über die berühmte Lösung des Sokrates wiederkäute. Stattdessen schien es zu improvisieren und machte an einem Punkt sogar einen typisch menschlichen Fehler.
Als ChatGPT gebeten wurde, die Fläche eines Rechtecks zu verdoppeln, behauptete es, dass keine geometrische Lösung existiere - eine falsche Antwort. Nadav Marco und Andreas Stylianides, die Wissenschaftler hinter der Studie, interpretierten diesen Fehler als Zeichen dafür, dass das Modell seine Antworten improvisierte.
Ihre Forschung, veröffentlicht im
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, legt nahe, dass ChatGPT wie ein Lernender funktionieren könnte, der Hypothesen aus seinem Vorwissen generiert, anstatt aus einer Datenbank zu schöpfen.
Diese Fähigkeit, vor einem neuen Problem zu "argumentieren", erinnert an das pädagogische Konzept der Zone der proximalen Entwicklung, die den Raum zwischen dem beschreibt, was ein Individuum weiß, und dem, was es mit angemessener Anleitung lernen kann. Die Forscher beobachten, dass ChatGPT, indem es kreativ auf Rätsel reagiert, die während seines Trainings nicht vorkamen, ähnliche Verhaltensweisen zeigt wie ein Schüler, der mit Hilfe eines Lehrers ein komplexes Konzept erkundet.
Die Implikationen dieser Studie gehen über den mathematischen Rahmen hinaus. Sie wirft grundlegende Fragen darüber auf, wie künstliche Intelligenzen Informationen verarbeiten und neuartige Probleme lösen. Die Forscher warnen vor einer übereilten Interpretation: Auch wenn ChatGPT zu "denken" scheint, bleibt sein Prozess eine Blackbox, deren interne Mechanismen schwer nachzuvollziehen sind. Für Andreas Stylianides wird es wesentlich, Studenten beizubringen, von KI generierte Beweise kritisch zu bewerten.
Das Team plant praktische Anwendungen, wie die Integration von ChatGPT in dynamische Geometrie-Tools oder Beweis-Assistenten, um interaktivere Lernumgebungen zu schaffen. Indem Schüler dazu ermutigt werden, präzise Prompts zu formulieren - zum Beispiel "Lass uns dieses Problem gemeinsam erkunden" statt "Gib mir die Antwort" - könnte eine fruchtbare Zusammenarbeit zwischen Mensch und Maschine gefördert werden, die den Weg für neue pädagogische Methoden ebnet.
Das Problem der Quadratverdoppelung
Das Problem der Quadratverdoppelung ist ein klassisches geometrisches Rätsel, das auf das antike Griechenland zurückgeht. Es besteht darin, ein neues Quadrat zu konstruieren, dessen Fläche genau das Doppelte eines gegebenen Quadrats beträgt. Viele denken intuitiv, es reiche aus, die Seitenlängen zu verdoppeln, aber dies vervierfacht tatsächlich die Fläche.
Die korrekte Lösung beinhaltet die Verwendung der Diagonale des ursprünglichen Quadrats. In der euklidischen Geometrie misst die Diagonale eines Quadrats mit der Seite 'a' a√2. Wenn man diese Diagonale als Seite des neuen Quadrats nimmt, wird seine Fläche (a√2)² = 2a², also genau das Doppelte der ursprünglichen Fläche a².
Dieses Problem veranschaulicht den Unterschied zwischen geometrischer Intuition und strenger mathematischer Argumentation. Es zeigt, wie scheinbar einfache Konzepte Komplexitäten verbergen können, die einen analytischen statt empirischen Ansatz erfordern.
In der mathematischen Bildung dient dieses Problem oft dazu, den Satz des Pythagoras und die Eigenschaften von Quadratwurzeln zu lehren, während gleichzeitig kritisches Denken gegenüber visuellen Annäherungen entwickelt wird.
Die Zone der proximalen Entwicklung in der Bildung
Die Zone der proximalen Entwicklung (ZPD) ist ein Schlüsselkonzept, das vom Psychologen Lev Vygotsky entwickelt wurde. Sie bezeichnet die Lücke zwischen dem, was ein Lernender allein erreichen kann, und dem, was er mit Hilfe eines Lehrers oder eines kompetenteren Gleichaltrigen erreichen kann. Diese Zone repräsentiert das unmittelbare Lernpotenzial des Individuums.
In einem Bildungskontext ermöglicht die Identifizierung der ZPD eines Schülers, den Unterricht so anzupassen, dass er weder zu einfach (was zu Langeweile führt) noch zu schwierig (was Frustration verursacht) ist. Der Lehrer führt den Lernenden durch zugängliche aber anregende Probleme und fördert so Fortschritte.
Das Konzept gilt auch für kollaboratives Lernen, bei dem Interaktionen zwischen Gleichaltrigen jedem helfen, seine aktuellen Grenzen zu überschreiten. Die ZPD betont die Bedeutung des sozialen Kontexts und der Unterstützung beim Erwerb neuer Fähigkeiten.
Heute inspiriert die ZPD moderne pädagogische Ansätze, einschließlich der Verwendung von Bildungstechnologien, wo Werkzeuge wie KI die Rolle eines personalisierten Tutors spielen können, der Übungen an das Niveau jedes Lernenden anpasst.
Quelle: International Journal of Mathematical Education in Science and Technology