Théorème des amis et des étrangers: cette énigme mathématique presque centenaire résolue ?

La théorie de Ramsey, un domaine captivant des mathématiques, repose sur un principe simple mais déroutant: dans tout ensemble assez grand, une structure ordonnée émerge inévitablement. Cette idée, formulée dans les années 1930, a donné naissance à des problèmes mathématiques fascinants, souvent désignés sous le terme de "problèmes de Ramsey". Parmi ceux-ci, le problème r(4,t) a longtemps défié les mathématiciens.

Jacques Verstraete et Sam Mattheus, chercheurs à l'Université de Californie à San Diego, ont récemment percé le mystère de r(4,t), une énigme mathématique qui a résisté à la résolution pendant des décennies.



Pour comprendre le problème r(4,t), il faut d'abord saisir la notion de graphe en théorie des graphes. Un graphe se compose de points et de lignes les reliant. La théorie de Ramsey suggère qu'à partir d'une certaine taille, tout graphe contiendra une structure ordonnée: soit un ensemble de points sans lignes les reliant (une absence de connexion), soit un ensemble de points avec toutes les lignes possibles entre eux.

L'exemple le plus connu est r(3,3), parfois décrit comme "le théorème des amis et des étrangers". Il stipule que dans un groupe de six personnes, on trouvera toujours trois personnes se connaissant toutes ou trois ne se connaissant pas. Le résultat de r(3,3) est six. L'apparente simplicité de ces problèmes masque une complexité étonnante. Imaginons que la solution à r(5,5) se situe entre 40 et 50. Avec 45 points, il existerait plus de 10²³⁴ graphes possibles.

Verstraete et Mattheus ont utilisé des graphes pseudorandom pour affiner les estimations des nombres de Ramsey. En 2019, ils ont résolu r(3,t) grâce à cette approche. Cependant, construire un graphe pseudorandom pour r(4,t) s'est révélé un défi majeur.

Ils ont dû explorer d'autres domaines mathématiques, tels que la géométrie finie, l'algèbre et la probabilité. Finalement, leur collaboration a abouti à une solution: r(4,t) est proche d'une fonction cubique de t. Cela signifie que pour un groupe où "quatre personnes se connaissent toutes ou t personnes ne se connaissent pas", il faudrait environ t³ personnes. Il est important de noter que ceci est une estimation et non une réponse exacte, mais elle se rapproche de la vérité.

Leur découverte est actuellement examinée par les Annals of Mathematics et une prépublication est disponible sur arXiv.

Cette avancée illustre l'importance de la persévérance en mathématiques. Comme le dit Verstraete, un bon problème résiste et ne se révèle pas facilement. Cette résolution est le fruit de nombreuses années de travail acharné, soulignant que même les problèmes les plus complexes peuvent être résolus avec détermination et créativité.