Depuis près de 200 ans, les "équations polynomiales de degré supérieur" résistaient à toute solution générale. Un mathématicien australien propose une méthode inédite, écartant les nombres irrationnels au profit de séries numériques innovantes.
Cette avancée, publiée dans
The American Mathematical Monthly, remet en question des principes algébriques établis depuis le XIXe siècle. En s'appuyant sur des séquences combinatoires, elle ouvre des perspectives inattendues pour les mathématiques pures et appliquées.
L'impasse historique des polynômes de haut degré
Les équations polynomiales, comme
x² + 5x + 6 = 0, sont résolues depuis l'Antiquité. Et on les retrouve partout, comme pour le calcul d'orbites, les prévisions météo, ou encore la cryptographie informatique ! Cependant, dès le degré cinq (au-delà de x⁴), elles devenaient insolubles, car elles nécessitent des nombres comme √2 ou π, dont les décimales ne s'arrêtent jamais. Évariste Galois avait démontré en 1832 l'impossibilité d'une solution générale par radicaux, contraignant les mathématiciens à des approximations numériques.
Norman Wildberger, de l'Université de Nouvelle-Galles du Sud, rejette cette limitation. Selon lui, l'usage des nombres irrationnels, comme √2 ou π, introduit des complexités artificielles. Ces nombres, nécessitant une infinité de décimales, sont selon lui "incalculables en pratique". Sa solution ? Les ignorer.
En effet, sa méthode évite ces écueils en utilisant des séries de puissances, des extensions polynomiales aux termes potentiellement infinis. Testée sur une équation cubique historique, elle a fourni des résultats précis sans recourir aux radicaux.
La clé: les nombres géodésiques
L'innovation repose sur une généralisation des nombres de Catalan, une séquence combinatoire qui indique comment découper un polygone en triangles. Wildberger et son collègue Dean Rubine ont étendu cette logique à des dimensions supérieures, créant une structure nommée Geode.
Représentation avec Geode.
Ces nouveaux nombres permettent de résoudre des équations complexes en exploitant des motifs géométriques multidimensionnels. Leur approche, purement algébrique, contourne les approximations traditionnelles. Elle pourrait optimiser des algorithmes en informatique ou en modélisation biologique.
Résultat ? Même x⁵ devient soluble ! Testée sur une équation du XVIIe siècle, sa technique a donné des résultats précis... sans jamais utiliser de nombres infinis. Geode offre aussi un champ de recherche inexploré. Des applications concrètes sont envisageables, comme l'amélioration des calculs orbitaux ou la compression de données.